Contoh soal peraamaan trigonometri

Contoh soal 1

Nilai x di antara 0° dan 360° yang memenuhi persamaan √3 cos x + sin x = √2 adalah...

Jawaban √3 cos x + sin x = √2 

1/2√3 cos x + 1/2 sin x = 1/2 √2 

cos 30° cos x + sin 30° sin x = cos 45° 

cos (x-30°) = cos 45', maka 

(x-30°) = ± 45° + k . 360° 

x1 -30° = 45° + k . 360° atau 

x1 = 75° + k . 360° 

supaya x1 terletak di antara 0° dan 360° maka 

x1 = 75° + 0 . 360° = 75° 

x2 - 30° = -45° + k . 360° atau x2 = 15° + k.360

Contoh soal 2

 Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan cos 2x = 1/2 dalam interval 0o < x ≤ 360o 

JAWABAN : 

cos 2x = 1/2 

cos 2x = cos 60o 

maka 

2x = 60o + k.360o 

x = 30o + k.180o 

Untuk k = 0 maka x = 30o + (0)180o = 30o 

Untuk k = 1 maka x = 30o + (1)180o = 210o 

dan 

2x = –60o + k.360o x = –30o + k.180o 

Untuk k = 1 maka x = –30o + (1)180o = 150o

Untuk k = 2 maka x = –30o + (2)180o = 330o

Jadi H = { 30o, 150o , 210o , 330o }

Contoh Soal 3 

 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan: 

 \sin 3x = \cos 2/x ; 0^{\circ} \le x \le 360^{\circ} 

 Pembahasaan: 

 \sin 3x = \cos 2x 

 \sin 3x = sin(90^{\circ} - 2x) 

 Sehingga, 

 3x = (90^{\circ} - 2x) + (k \cdot 360^{\circ})

 5x = 90^{\circ} + (k \cdot 360^{\circ}) (kedua ruas dibagi 5) 

 x_1 = 18^{\circ} + (k \cdot 72^{\circ}) 

 Atau, 

3x = (180 - (90^{\circ} - 2x)) + (k \cdot 360^{\circ}) 

3x = (90^{\circ} + 2x) + (k \cdot 360^{\circ})

 x_2 = 90^{\circ} + (k \cdot 360^{\circ})

 Himpunannya, 

 k = 0 \rightarrow x = 18^{\circ} atau x = 90^{\circ} 

 k = 1 \rightarrow x = 90^{\circ} 

 K = 2 \rightarrow x = 162^{\circ} 

 k = 3 \rightarrow x = 234^{\circ} 

 Himpunan penyelesaiannya adalah (18^{\circ}, 90^{\circ}, 162^{\circ}, 234^{\circ})

Contoh Soal 4

 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri: 

 \cos 4x + 2\cos^2 2x + 14\sin 2x - 9 = 0; 0 \le x \le 2\pi 

 Pembahasan: \cos 4x + 2\cos^2 2x + 14\sin 2x - 9 = 0; 

 (1 -2\sin^2 2x) + 2(1 - \sin^2 2x) + 14\sin 2x - 9 = 0 

 4\sin^2 2x - 14\sin 2x + 6 = 0 

 2\sin ^2 - 7\sin 2x + 3 = 0 

 (2\sin 2x - 1)(\sin 2x - 3) = 0 

 Didapat, 

 Akar 1: 

 2\sin 2x - 1 = 0 

 \sin 2x = \frac{1}{2} (bisa) 

 Akar 2: 

 \sin 2x - 3 = 0 \sin 2x = 3 (tidak bisa) Sehingga, 

 \sin 2x = \frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6}) 

 2x = \frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi 

 x_1 = \frac{\pi}{12}+ k \cdot \pi 

 Atau, 

 2x = (\pi - \frac{\pi}{6}) + k \cdot 2\pi 

 x_2 = \frac{5\pi}{12}+k \cdot \pi 

Himpunannya, 

 k = 0 \rightarrow x_1 = \frac{\pi}{12}

 \rightarrow = \frac{5\pi}{12}

 k = 1 \rightarrow x_1 = \frac{13\pi}{12}

 \rightarrow x_2 = \frac{17\pi}{12} 

 Himpunan penyelesaiannya adalah:

 (\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12},\frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12})

Contoh Soal 5

Himpunan penyelesaian dari persamaan 

sin 3x = cos 2x dengan 0o ≤ x ≤ 360o yaitu ?

 Jawab :  

sin 3x = cos 2x 

sin 3x = sin (90 – 2x) 

3x = 90 – 2x + n.360 

5x = 90 + n.360 

x = 18 + n.72 

untuk n = 0 maka x = 18 

untuk n = 1 maka x = 90 

untuk n = 2 maka x = 162 

untuk n = 3 maka x = 234 

untuk n = 4 maka x = 306 

3x = 180 – ( 90 – 2x ) + n.360 

3x = 90 + 2x + n.360 

x = 90 + n.360 

untuk n = 0 

maka x = 90 

 Jadi, himpunan penyelesaiannya yaitu {18, 90, 162, 234, 306}